PB.n=0,为坐标原点，OB,(OC,O),所在的直线分别为x轴，y轴，之轴建立空设面PBC的法向量n=(x,y,之)，由p元.n=0,得n的一个解为间直角坐标系.(1.0,5).设该四棱柱的棱长为2，因为∠CBA=60°，设直线MC与面PBC所成角为0，则sin0=|cos(MC,n)1=所以OB=√3，OC=1,MC·m-2所以O(0,0,0),B1(√3,0,2)，C1(0,1,2),MCn 14面BDD1B1的一个法向量n=(0,1,0),所以有线C与面PC所成角的正弦值为一设面(C1B1的法向量m=(x,y,),【追踪训练4】【解析】(1)四边形BB,ED为矩形，证明如下：则由m10店，m10,得3x+2=0,取A1C的中点为E,连接B,E,DE(图略).在三棱柱ABCA1BC(y+2x=0,中，侧面A1ABB1为行四边形，所以B1B∥A1A,又因为BB过面取x=一√3，则x=2,y=23,所以m=(2,23,-3),A1ACCC1,AAC面A1ACC℃C1,所以BB∥面A1A(CC所以cos〈m,n）=m·n2W/52√57mln√1919因为B1BC面BB1D,且面BBD∩面A1ACC1=DE,所以B1B∥DE.所以面COB,和面OB,D的夹角的余弦值为2Y.因为在三棱柱ABGA1BC1中，面ABC∥面AB,C,面【追踪训练5】【解析】(1)因为∠DAB=60°，AB=2AD,山余弦定理得BBD∩面ABC=BD,面BB1D∩面A1B1C1=B1E,所以BD∥B1E,所以四边形BD=√3AD,从而BD十AD2=AB2,所以BD⊥AD,BB,ED为行四边形.又PD⊥底面ABCD,BDC面ABCD,所以BD⊥PD在△ABC中，因为AB=BC,D是AC的中点，所以BD⊥AC.由题意又AD∩PD=ID,AIDC面PAID,PDC面PAD,所以BD⊥可知AD⊥面ABC,所以AD⊥BD,AD⊥AC,因为ACOAID=面PAD.D,所以BD⊥面AC℃1A1,所以BD⊥DE,故四边形BB,ED为又PAC面PAD,所以PA⊥BD矩形.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位(2)中(1)知DB,AC,AD两两垂直，以DB,长，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所AC,A1D所在的直线分别为x轴，y轴，x轴，建示的空间直角坐标系Dxyz,则1(1,0,0)，立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.B(0,√5,0)，C(-1,√/5,0)，P(0,0,1),设AD=1,BD=a,在△AA1D中，AA1=2ADAB=(-1,W3,0),PB=(0,√3，-1)，B-(-1,0,0).∠A1DA=90°，所以AD=√3，设面PAB的法向量n=(x,y,之)，所以D(0,0,0),A(0,一1,0)，A1(0,0,√)，B(a,0,0),则AA1=(0,1,则/n·店-=0，即-x+3y=0,3),AB=(a,l,0).n.Pi=0,5y-x=0,因为E(0,1,3),所以DB=Di+Di=(a,13),即B1(a,13).因此可取n=(√5,1，√).因为C(0,1,0),所以CB=(a,03).设面PBC的法向量m=(x1,y1,1),设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,之)，市-0即n=0,则即+=0，n·A-0,m.BC=0,-1=0,则n·AB=0,因此可取m=(0,一1，一√3).ax+y=0,令x=a,则y=一√/3a,x=√3，所以n=(W3,一√3a,a).则cos(m,n〉==-27277设CB1与面ABB1A1所成的角为0，则sin0-cosn,(1=n,Cg故二面角APBC的余弦值为-2.nCB考点32√3a2√3a【例6】15【解析】如图，以D为坐标原点，建/3+4a2XW/a2+3√/4a4+9+15a2立如图所示的空问直角坐标系Dxy252V√ia13115V12+15=3,由题设知该正方体棱长为4，则D(0,0,0),D1(0,0,4),C(0,4,0).当日仅当-是即a-时，等号成立。山题设可得P(4,3,4),则DD1=(0,0,4),DP=(1,3,1).故CB与面ABB,A,所成角的正弦值最大为子设面D1DP的法向量n=(x,y,z),【例5】【解析】(1)因为四边形A(℃A,和四边形BDDB,均为矩形，所n可-即40则n.DP=0,4x十3y十4x=0以CC1⊥AC,DD1⊥BD,令x=一3，则y=4,x=0,义CC1∥DD1∥(O1,所以()1⊥AC,(X)1⊥BD.所以n的一个取值为(-3,4,0).因为AC∩BD=O,所以OO⊥底面ABCD.又D元=(0,4,0).(2)因为该四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又OOL底面ABD,所以OB,OC,O)两两垂直.如图，以O所以点C到面D,DP的距离d=n,D心-1Gn23XKA(新)·数学-B版-XJC·71·

OB,OP两两垂直，所以以O为坐标原点，建7.BCD【解析】对于A,因为a·b=1X2十立如图所示的空间直角坐标系.(-1D×1+2×(-2）=0,所以a1b6,所以1与m垂直，故A正确；对于B,显然a与n不行，所以l与面α不垂直，故B错误；对于C,显然n1与n2不行，所以a与B不行，故C错误；对于D,因为AB=(-1,-1,1),AC=(-2,2,1),且向量n=(1,u,t)是因为△PAC是等腰直角三角形，PA=PC=n·AB=0,面a的法向量，所以即4,△ABC为等边三角形，所以A(2√2,0,0)，n·AC=0,B(0,2√6,0)，C(-2√2,0,0)，D(√2，W6,0),1u-1-u+t=0,3P(0,0,2√2)，所以AC=(-4√2,0,0)，PD=解得5-2+2u十t=0,4所以u十1=3，(W2,V6,-2√2)，所以cos(AC,PD》=t=3'AC.PD故D错误.故选BCDLACI PDI2一学没异面内线女8.AD【解析】因为四边形ABCD为行四边与PD所成角为0，则cos0=|cos(AC,PD1=形，所以BC=AD=(4,2,0),所以BC·AP=-4十4=0，故AP⊥BC成立，故A正确.②,所以异面直线AC与PD所成角的余弦PB-=AB-AP=(3,-3,-3),而AP.·PB=-3-6+3=-6≠0，所以AP⊥PB不成立，值为源故选B故AP不是面PBC的法向量，故B错误，6.C【解析以D为坐标原点，DA,DC,DD,所Bd-A市-A成=(2,340，而吕≠号，故A泸∥在直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示BD不成立，故C错误.因为PB=(3,-3,的空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),-3),AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),设C1(0,2,4),则可设P(0,t,2t),t∈[0,2]，面ABCD的法向量为n=(x,y,之)，则Q(2-m,m,0),m∈[0,2]，所以PQ2=(2n·AB=0,n「2x-y-4z=0,即mw+m-)+(-2=5-)+号m令y=2,则n·AD=0,(4x+2y=0,9°+9，当=m=9,即1-m8时x=-1,之=-1，故n=(-1,2,-1).设直线BP与面ABCD所成角为0，则sin0=PQ取得最小值专故选C|cos(PB,n>|=-pi·n6②1PBn33×6D而0∈0，号,故ms9=浮，放D正确，故选AD.9.ACD【解析】如图，以D为坐标原点，DA,DDC,DD1的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向建立空间直角坐标系，严选卷·高中数学·选择性必修第一册·RJA答案与解析D06

念与性质10.解：(1)令t=x十1，则x=i一1，…1分2则f()=(t-1)2-4(t-1)-4=2-62+1,4分所以f(x)=x2-6x十1.…6分0),②由a蜘-1+日≥2-6=-4，10分当且仅当|x=1,即x=士1时，等号成立，11分象关于y轴对杯，则f(x)的图象关于直故的最小值为-4…13分所以f(x)在（一∞，一1]上单调递减.因11,解：(1)函数g(x)=a(x-1)2+1+b-a,>0,g()为开口向上的抛物线，且图象的对称轴为直线工=1，……2分义域为R,值域为{0,1)，故A,B错误∴g(x)在区间[2,3]上是增函数，f(x)=f(0)=1或f(f(x)=f1)85分解得a=1,b=0.为有理数，则f(x十T)=f(x)=1;（2)由0可得g田=2-2x+1,则f)与十22，6分=0.1R恒成立，即D正确.fg:)-2ox≥0在x∈2,8]正有解，等价于1o82x10gz一2>2 og在z[2,8]),放西数f(x)为奇函数，对于定义18分数(x)为诚函数据此判断，BCD项上有锅，即2Ka可十1在x[2,8上有解令z“z[2,8],c号2≤2-2+1在e[号，1]上有解.…10分+f(-x+2)=2,又f(x)+f(x÷=2对称，B正确.因为f(0)十f(2)记g0=-+1=-12,∴号，1，则0在[号，1]上为减函数g(0==(号)=意，2,得f(x十2)+f(x十4)=2，又2≤号则≤号，的取值范固为(-∞，名113分x)=f(x十4)，C正确.Ar2)=6,D错误12.解：(1)由题意得f(x)的定义域为（一1，+∞），…1分由f(x)>f2x-1),可得1og2(x+1)>1og2(2x),x+1>2x,f(x)关于点(1,1)对称，因为当0则x>-1,(2x>0,3分1,所以f号)=1，又f八0)=解得0

则+x-+y+1+1-1+2+3222+3,a≤2W5+3.x-1t故实数a的取值范围是(-0,2√2+3]10分18。解：（1)由题意得A=2,了-，∴最小正周期T=π，则0=.222元-2T∴f(x)=2sin(2x+p).若选①，〔-君为商数则引=023sm+pj-0.即m(号+p小-0.0<<即写+<+=0.即33331若选@.当x=0时f)=52sn=5,即s如=50<<分=f=22r+写引若选③，x=云是函数)的一条对称轴，12x号+p-受+ka(xe2).即0-号+ka22x000-号fe=2n2x+6分a0=.2sm24+写}-5.即sm24+}-5A∈0，)24引后)24+号Ξ即4-君又C=3△M8C的面积Se=356csnA=35得b=4W5,在△4BC中，由余弦定理得a2=2+c2-2bcc0sA=48+9-2x4W5x3xY5=21,解得2a=2i.12分19.(1)证明：由题意，当n=1时，a2=2a1+1=2×0+1=1,

所以ab+ke+o>-号另-方面，a2+>2ab,+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以，a2+8+B+c2+c2+a2>≥2ab+2bc+2ca,所以2>2ab+2bc+2ca,即ab+bc+ca≤1，所以-2≤ab+bc+a≤1，……7分(2)a2(6+c2)+(c2+a2)+2(a2+b)代隔=a2(1-a2)+(1-6)+c2(1-c2)=1-(a+b+c),因为a+6+c=(a2++c2)2-2a26-2c2-2c2a=1-(2a26+28c2+2c2a2)≥1-(a+6+6+c+c4+a),所以3a+6+≥1l,则-(a++c≤-青；所以a心+)+心+a)+ea+)≤号……15分(三)1.D据题设知，f(4)=1og24=2.又f(4)=2f(a,.f(a)=1.讨论：当a>0时，log2a=1,.a=2;当a≤0时，a2=1,∴.a=1(舍)或a=-1.综上，a=-1或a=2.故选D.2C:f(x)为定义在R上图象关于坐标原点对称的函数，.函数f(x)为定义在R上的奇函数，∴fog3)=f(-og3).又当<0时，f)=f0cg3)=-4=-专故选C3.A因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(2020)=f(336×6+4)=f(4).又因为f(4)=1,所以f(2020)=1.故选A4C0<(号)产<1,32m=2018,(-10)寸<0，所以6>a>6故选C5.D因为f(x)(号)广+2，x<0,为奇函数，所以g(x)=-2-2(x>0),所以f(g(2)+g(f(-一3)=f(一6)十g(x),x>0g(10)=2+2+(-21-2)=-960.故选D.6D1x)=hg-h2-)-2h2--S2分折知，f=-2如2-3在区同-2n(x-2),x>2.(-∞，2)上单调递增；f(0)>-2.故选D.7.C分析知，函数f)=4-是在(0，+∞)上单调递增，a=f(lg(2-1D1)=fog:W2+1D),6=f(og时2)=oe2.=f0-og,2)=f(o8名)2+1>2>号有a>6>c故选C8.B由题意，得f0)=10g2+0+6=1+b=0,解得6=一1，由f(x)<5台-5≥0时，f)=x-2-2x,∴()=4x-2x-2=2(x-1D(22+2x+1).分析知，f在[0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，且f)=-2.故选B1(一号号）因为f为奇函数，且定义城为R,所以f0)=0,即}-=0，解得a=2,即f)=号-2韦由【2022届高考二轮专题分层突破卷·理科数学参考答案第5页（共48页）】

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■口口■■■■■（2)由题可得，c=1+片+2++元+…x"取x=1,有e=1+:11假设e为有理数，不妨令e=1++1十1112!1（0+1)1(1+2)+=5(s,1∈Z,且1≠0，s与1互质)，等式两边同乘得：小分一+…=s0-1),厚1(0+1)1(1+2)+10+2亦为正整易得，4片t为正整数，0也为正整数，则一数，11+1)！t+2)11+10+10+2)0+10+2)0+3)a'mc1-》e网为正布1+1所以e为无理数………(1门分)数学参考答案·第9页（共9页）

8/12分数学用报2023一2024学年人教A版高一第13~16期MATHEMATICS WEEKLY答案专期即f(x)-(x≤4.所以/(x)-f(xfx)-f(x)+…+fx.-)-fx)≤4n-1)<0,得m25ras5=(65-259）=s30=即2023≤4(n-1).若f(x)在a,内既有最大值又有最小值，5n=506时，4(n-1)=2020<20232.(cosaC2023(血a-血pj=sina-2 inin+mB==2的图象两式相加得，2+2(cos a cvsB-sin仪simB)=2+费套可其封商肉形的画积为2×2如=4n三、13.解：齿为f)=2aim(2x-君》+a所以e的城小正周期T=空=2cs(a+B)=+号=362)当x0时：2-若[所以a+)=.故选Cx),则fx)足偶函数故B借误：敏当2x-夏=-时，听数f()取得最小3南in0+)-}得，i血0=即血0=-子因为1值，即m（=-号.所以x)取得最小俏而是第四象限角斋拉听以a=-1则o0=-im0=-(引-x)=f(x),tano=sin=37对十洗Ax)=的义城为R,是奇丽0。2如数，H增函数满足条件所以a8+)片1-tan9an年1-（-3x1对手选项描点将它们州光带的仙线还接起米.如下.故选A3=-(3-3),则函数x)是奇函数，在R上足增西图所示4.sin2023c082270s2023°c0543=sin(223°5×360°)c0(180°+47)-c09(223°+5n43X)=13-c043=in(2x+g-n5.in110c0s40°-c0s70Psin40P=in70°c0s40P8.为点，2为fx)的最大伯点，点-015.解：<0),y=(x)的一条对称轴是直线x=受cos70Psin40°=in(70P-40°)=8in30r=是函数的点，1w=1时.T=2，两点相距,成立.当=2时，T=，两点相,不成则2×贺+g=+π，kZ立，当仙=3时，T=2，两点相：3成结合-m0,所以=2，从前fx)=un(2+p】5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公所以若使函数y=anor在一万，)内单式（二）递减，期u<0又（受号）是函数y=amur因为响数y=f(x)的图象关丁点M-受01.D2.B3.D4.ACD的道洲递减风问.对称，所以2×-贺)+p=雪，keZ546.4所以立≥,所以-1≤w<0即g=钙+开，keZ11.因为对任意p∈0牙.函数fx)=in(wr因为0行-号所以a≤2>0时.此时。(2)令-号+r<2x+至<号+k知，keZ2为0=-2，且0e(怎)0<≤2y=in(wr+e)单调递增解得-3证+km<2x<至+m.keZ.所以i0--w而=一号-岁可得+9≥-号+2.即-3+經

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中国移动6l说，l令中国移动Ho达084%刀1晚上10：55【2022届高考二轮专题分层突破卷·理科数学参考答案第25页（共48页）】令x'=1,得m=(1,-1,1).…12分设二面角B-EC-A的大小为0，由图可知0为钝角，则o清2-1,-1,1)·(11,1)=-1√5×3故二面角B-EC-A的余弦值为-子·…15分16.证明：(1)在图1中，因为M,N分别为矩形ABCD的边AB,CD上的点，且MN∥BC,所以在图2中有MN⊥ND,MN⊥NWC.…1分又因为直线ND,NC是面CND内的两条相交直线，所以MN面CND.……3分又MNC面AMND,所以面AMND⊥面CND,即面CND⊥面AMND.…5分解：(2)据题设分析知，∠CND=60°.又在图1中有AM=2MB,AB=3,BC=2,MN∥BC,所以在图2中有CN=1,DN=2.……7分所以CD=√CN2+DN2-2CN·DN·cos60=5,…9分所以CD+CNP=DNP,所以∠DCN=90°.…11分过点C作CH垂直于ND,垂足为点H,连接MH,则∠CMH为直线MC与面AMND所成的角.…13分又CH-√-(3了-9，MC-+2-5,所以mcMH装怎即直线MC与面AMND所成角的正弦值为压，10…15分(+二)1.D讨论：当m=0时，直线l1:y=2与直线l2:x=-互相垂直：当m≠0时，品×（一2）=-1m=-1故m选D.2.B圆C:(x一1)2十y2=2的圆心坐标为(1,0)，半径为2，设点(1,0)关于直线x十y=0对称点坐标为(x0%),则理名=(1+0+4盘4圈￥细MI-=00=xM1-=(1-)×欲日0=名x十名23.Cx2十y2-2x-4y一3=0→(x-1)2十(y-2)2=8,所以圆心坐标为(1,2)，半径为22，当过点M(3,0)的切线存在斜率k,切线方程为)y=k(红一3)→kx-y一3张=0，圆心到它的距离为22，所以有1X一23=22>k=1,即切线方R2十1程为x一y一3=0；当过点M(3,0)的切线不存在斜率时，即x=3,显然圆心到它的距离为2≠22，所以x=3不是圆的切线.因此切线方程为x一y一3=0.故选C.4.A据题设分析知，圆C半径r的最小值r一-2X01X2+0-名，此时圆C的圆心为直线2x十3y=0与直线y一2/22+124=之(x-0)(直线x一2y十4=0)的交点.解22x+y=0,x=一51得x-2y+4=0,所以所求圆C的方程是(x+号)广°+8y=5(y-)°-告放选A【2022届高考二轮专题分层突破卷·理科数学参考答案第26页（共48页）】5.A圆C:x2+2x十y-24=0的圆心为点(-1,0，半径，=5.点(-1,0)到直线：mx-y=1的距离d=一m=,则√/m2+1直线/被圆C截得弦长等于2V25一-2√24-，织m2+1一m开·分析知，当m-1时，被截得弦长最小值为2V2,故选周22、D

+b²-caab10.AB【解析】A选项：cosC=2ab2abB选项：c²=ab=a²+b²-2abcosC≥2ab（1-cosC）CC选项：（a+2b）cosC+ccosA=0，.（sinA+2sinB）cosC+sinCcosA=0sin（A+C）+2sinBcosC=0，.1+2cosC=0D选项：:sin（A-B）=1-2cosAsinB,.sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB.sin（A+B）=1:C【解析】A选项：11.ACDa2n=2aB选项：a=0，x∈（1，+∞）时'（x）<0，即（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递1,x∈（1，+∞）时（x）>0，所以0<2a<1，D>数学试题参考答案第2页（共5页）